Méthodes asymptotiques en ferromagnétisme

Abstract

Nous nous intéressons à des problèmes issus de la théorie du ferromagnétisme, plus particulièrement au comportement asymptotique du moment magnétique dans diverses situations. Dans la première partie, l'équation de Landau-Lifschitz régissant l'évolution du moment magnétique est couplée aux équations de la magnétostatique. Lorsque le coefficient d'échange tend vers 0 dans l'équation de Landau-Lifschitz, il se forme au bord du domaine une couche limite qui rattrappe la condition de bord. Nous considérons ici le cas critique où le domaine ferromagnétique est de la même taille que la couche limite, dans une ou deux directions. Nous recherchons dans ce cas les modèles limites vérifiés par le moment magnétique ainsi qu'un développement asymptotique de la solution. Nous utilisons pour cela la méthode BKW et effectuons un changement d'échelle pour nous ramener à un domaine fixe. Nous introduisons alors des opérateurs différentiels adaptés à la géométrie, des espaces de Sobolev à poids pour la résolution de problèmes extérieurs 2D et nous estimons les termes de reste au moyen d'espaces de Sobolev anisotropes adaptés à la petite taille des domaines. Dans la seconde partie, nous nous intéressons à de petites perturbations d'une solution stationnaire stable des équations de Landau-Lifschitz-Maxwell pour lesquelles les effets non-linéaires, dispersifs et diffractifs se produisent simultanément en temps long. Nous étudions alors les solutions au moyen d'un développement asymptotique, la principale difficulté provenant des deux échelles de temps entrant en jeu. Nous obtenons que le profil principal se scinde en plusieurs termes se propageant et vérifiant en temps long l'équation de Khokhlov-Zabolotskaya, qui modélise des effets diffractifs en dynamique des gaz. Cette étude est complétée par une étude numérique mettant en évidence la diffraction au moyen de schémas numériques fonctionnant en temps long.