Quelques problemes de Reflexion-Transmission en optique dispersive faiblement non linaire.

Abstract

Cette these est consacre l'etude mathematique de lapropagation non-linaire d'ondes haute-frequence, dans des milieux inhomognes constitues de deux matriaux d'indice de refraction constant etsepares par une interface plane. La presence de l'interface ncessitede decrire les phnomenes de reflexion-transmission a la traverse de ladiscontinuite. L'approche choisie releve de l'optique gometrique.L'exemple typique, etudie, est le systeme d'quations Maxwell-Lorentzcomplete de diverses quations dcrivant la polarisation de chaque milieux.La nouveaute de ce travail vient du caractere dispersif des quationset de la prise en compte des quations de bord exactes.Dans ce cadre la relation de dispersion ou variete caractristique n'est pashomogne ce qui implique une reelle dpendance des vitesses de groupevis-a-vis de la taille des frequences et pas seulement de leur direction.Au niveau du probleme limite ceci a pour consquence la creation denouvelles phases caracterisriques issues des intractionsnon-lineaires des phases existentes avec le bord.Le premier chapitre re-situe la problematique dans un contextehistorique et mathematique. Il y est egalement donne un resume destrois autres chapitres. Le second chapitre, coeur de la these,concerne l'analyse de l'Optique Gomtrique pour le problme detransmission avec des dveloppements assymptotiques tous ordres. Ilcontient une analyse precise de la generation non-linaire des phasesau bord et justifie rigoureusement l'approximation dudeveloppement. Il donne galement un nouveau traitement des modes evanescents. Dans le meme contexte geomtrique, le troisime chapitre aborde leprobleme de l'Optique Diffractive avec la recherche de solutions assymptotiques approchees a tous ordres pour des temps de propagation plus long. Enfin, dans un quatrieme chapitre sont construits et testes des shemasnumriques D quasi linairement exacts pour simuler la propagation (en variabled'espace) en temps long d'ondes issues d'un bord.