Etude des graphes planaires cofinis selons leurs groupes de symétries

Abstract

Les graphes cofinis constituent une famille de graphes possédant un groupe de symétries non trivial, comme les graphes de Cayley ou les graphes sommet-transitifs. Lorsque ces graphes sont en plus planaires, ces symétries peuvent se traduire de manière simple grâce à des symétries du plan dans lequel les graphes sont dessinés. L’ensemble de ces symétries ou automorphismes permet alors de décrire globalement le graphe à l’aide de données géométriques locales, par des structures appelées schémas d’étiquetage. Dans cette thèse, nous étudions les groupes de symétries et décrivons les schémas d’étiquetage des graphes planaires cofinis possédant une représentation topologique simple : les graphes planaires localement finis. Nous montrons comment ces schémas permettent de caractériser le graphe et ses plongements. Cette analyse permet d’énumérer cette famille des graphes planaires cofinis, en particulier lorsqu’ils sont de Cayley ou sommet-transitifs. A partir de ces résultats, nous nous intéressons à la structure des groupes d’automorphismes de cette famille de graphes. Des problèmes de la théorie combinatoire des groupes usuellement indécidables se trouvent devenir décidables dans notre cadre : c’est le cas en particulier des problèmes du mot, simple et généralisé. Les problèmes de décidabilité de la logique permettent de classifier ces graphes en deux grandes familles, selon leur largeur arborescente et la géométrie de leur plongement. Enfin, la question de l’extension de cette description à une famille de graphes plus généraux est étudiée. La classification de ces graphes en terme de bouts et de points d’accumulation dans les plongements permet d’obtenir des informations sur la forme que peuvent prendre les plongements des graphes planaires cofinis non localement finis. Nous discutons alors des difficultés d’extension de la méthode “localement finie” au cas général.