Sur le topos Weil-étale d'un corps de nombres

Abstract

Ce mémoire est constitué d’une étude topologique et cohomologique des anneaux d’entiers de corps de nombres. Dans une première partie, nous définissons une cohomologie étale équivariante satisfaisant un théorème de localisation. L’utilisation de cette cohomologie nous permet d’approfondir le dictionnaire de la topologie arithmétique. La suite de ce travail est consacrée à l’étude de la cohomologie Weil-étale en caractéristique zéro, dont l’existence a été conjecturée par Lichtenbaum. Cette théorie cohomologique permettrait d’exprimer les valeurs spéciales des fonctions zêta de Dedekind en termes de caractéristiques d’Euler. Après avoir donné une description explicite de la catégorie des faisceaux sur le site Weilétale d’un corps de nombres, nous construisons un complexe de faisceaux sur le site étale d’Artin-Verdier dont l’hypercohomologie est la cohomologie Weil-étale conjecturale. Cette construction suggère l’existence d’un toposWeil-étale au-dessus du topos étale d’Artin-Verdier d’un corps de nombres. Nous démontrons ensuite que le topos Weil-étale en caractéristique positive est un produit fibré dans la 2-catégorie des topos. Nous étudions alors les propriétés topologiques partagées par le topos Weil-étale et le système dynamique de Deninger conjecturalement associés à un corps global. L’intuition topologique fournie par cette analogie nous permet finalement la construction d’un topos, fonctoriellement attaché à un corps de nombres, dont nous étudions certaines propriétés.