Sur la structure des noyaux sauvages étales des corps de nombres

Abstract

Le but de ce travail est de présenter des résultats à propos des noyaux sauvages étales. Soit p un nombre premier. Les noyaux sauvages étales d'un corps de nombres F (qui sont dénotés par WK^{ét}_{2i}(F) avec i∈ℤ) sont des généralisations cohomologiques de la p-partie du noyau sauvage classique WK₂(F), qui est le sous-groupe de K₂(F) constitué par les symboles qui sont triviaux pour tout symbole de Hilbert local. Ces noyaux sauvages étales sont des ℤp-modules et l'on sait qu'ils sont finis lorsque i≥1 (et même, suivant les conventions, si i=0) : on conjecture en plus qu'ils soient toujours finis (conjecture de Schneider). Dans la suite, on va supposer que cette conjecture est satisfaite. On va s'intéresser en particulier à deux problèmes. Le premier, qui est étudié dans les Chapitres 2 et 3, est la déterminations des structures de groupe qui sont réalisables comme noyaux sauvages étales. En d'autres termes, si l'on se donne un corps de nombres F, un p-groupe abélien fini X et un nombre entier i∈ℤ, on peut se demander s'il existe une extension finie E/F telle que WK^{ét}_{2i}(E)≅ X. Une question semblable a été étudiée pour les p-groupes des classes et il y a un relation précise entre les p-groupes des classes et les noyaux sauvages étales. Par conséquent, on peut espérer traduire les résultats classiques dans le contexte des noyaux sauvages étales. Peut-être est-il intéressant de donner ici une courte récapitulation sur le problème de réalisation classique pour les p-groupes des classes. Essentiellement, deux techniques sont utilisées. D'un coté, pour un corps de nombres F fixé, l'on étudie la p-tour des corps des classes de Hilbert de F : Yahagi a montré que cette tour est infinie si et seulement s'il n'y a pas d'extensions finies E/F dont le p-groupe des classes soit trivial. De plus, si la tour est finie, alors toute structure de p-groupe abélien apparaît comme p-groupe des classes pour quelque extension finie E/F. De l'autre coté, une fois que l'on sait que pour un corps de nombres F fixé, il existe une extension finie dont le p-groupe de classes est trivial, alors on peut se servir de la théorie du corps des classes et de la théorie des genres pour trouver, pour n'importe quel p-groupe abélien fini X, une extension finie E/F telle que le p-groupe des classes de E est isomorphe à X. En effet, la traduction du résultat de Yahagi dans le contexte des noyaux sauvages étales n'est pas tout à fait immédiate : la relation entre le groupe des classes et le noyau sauvage étale d'un corps de nombres F s'écrit dans le langage de Γ-modules, où Γ est le groupe de Galois sur F de la ℤp-extension cyclotomique de Fµp. La façon la plus naturelle pour s'approcher du problème est donc de considérer le problème de réalisabilité pour les modules d'Iwasawa. Ce problème a été étudié (parmi d'autres auteurs) par Ozaki : il a montré que pour tout Λ-module fini X, il existe un corps de nombres k tel que le module d'Iwasawa de k (c'est à dire la limite projective des p-groupes des classes le long de la tour cyclotomique) est isomorphe à X. Les techniques utilisées sont inspirées à celles de Yahagi et en fait elles s'appuient d'une façon fondamentale du fait que p ne divise pas le nombre des classes de ℚ. Pour obtenir la traduction de ce résultat en termes de noyaux sauvages étales il faut considérer plutôt ℚ(µp) -plus précisément un sous-corps convenable de ℚ(µp). Bien entendu, le nombre des classes de ce sous-corps n'est plus premier avec p (du moment que p peut être irrégulier). D'autre part, si p est régulier, la preuve d'Ozaki peut être adaptée (comme l'on montre dans le Chapitre 2).