Sur la répartition des zéros de certaines fonctions méromorphes liées à la fonction zêta de Riemann

Abstract

Nous traitons trois problèmes liés à la fonction zêta de Riemann : 1) L'établissement de conditions pour déterminer l'alignement et la simplicité de la quasi-totalité des zéros d'une fonction de la forme f(s)=h(s)±h(2c-s), où h(s) est une fonction méromorphe et c un nombre réel. Cela passe par la généralisation du théorème d'Hermite-Biehler sur la stabilité des fonctions entières. Comme application, nous avons obtenu des résultats sur la répartition des zéros des translatées de la fonction zêta de Riemann et de fonctions L, ainsi que sur certaines intégrales de séries d'Eisenstein. 2) L'étude de la répartition des zéros des sommes partielles de la fonction zêta, et des ses approximations issues de la formule d'Euler-Maclaurin. 3) L'étude du prolongement méromorphe et de la frontière naturelle pour une classe de produits eulériens, qui inclut une série de Dirichlet utilisée dans l'étude de la répartition des valeurs de l'indicatrice d'Euler.