Le théorème central limite pour la marche linéaire sur le tore et le théorème de renouvellement dans $\mathbb{R}^d$

Abstract

La première partie de cette thèse porte sur l'étude de la marche aléatoire sur le tore $\mathbb{T}^d:=\mathbb{R}^d/\mathbb{Z}^d$ définie par une mesure de probabilité $\mathrm{SL}_d(\mathbb{Z})$.Pour étudier le Théorème Central Limite et la loi du logarithme itéré, nous appliquons la méthode de Gordin qui consiste à se ramener à des martingales. Pour cela, nous utilisons un résultat de Bourgain, Furmann, Lindenstrauss et Mozes nous permettant de résoudre l'équation de Poisson pour des points ayant de bonnes propriétés diophantiennes.Dans la deuxième partie, nous étudions la marche sur $\mathbb{R}^d \setminus\{0\}$ définie par l'action de $\mathrm{SL}_d(\mathbb{R})$ et nous montrons un résultat de vitesse de convergence dans le théorème de renouvellement de Guivarc'h et Le Page.