De la mécanique discrète à la loi de Darcy-Forchheimer

Abstract

La loi de Darcy-Forchheimer représentant les écoulements en milieux poreux issue des travaux ex-périmentaux de ces auteurs permet de rendre compte des effets visqueux et inertiels générés à petite échelle. L'équation de la mécanique discrète basée sur la décomposition de Hodge-Helmholtz de l'accélé-ration permettent de définir celle-ci comme la somme d'un terme à divergence nulle, un rotationnel d'un potentiel vecteur et d'un autre irrotationnel, un gradient d'un potentiel scalaire. Les termes inertiels de cette équation se décomposent de la même manière en introduisant un potentiel inertiel défini dans tout milieu en mouvement. A partir d'une homogénéisation basée sur les mêmes opérateurs discrets que ceux utilisés pour la dérivation de l'équation du mouvement discrète celle-ci est réduite à une équation de type Darcy-Forchheimer généralisée en définissant deux échelles de longueurs, l'une associée au diamètre des pores et l'autre à une échelle de propagation des ondes longitudinales. La formulation obtenue fait apparaître des termes supplémentaires, un terme d'inertie relié à la direction de l'écoulement et un terme de propagation longitudinale déjà présent dans l'équation du mouvement discrète.