Modélisation de processus cancéreux et méthodes superconvergentes de résolution de problèmes d'interface sur grille cartésienne

Abstract

Cette thèse présente des travaux concernant des phénomènes d'invasion tumorale, aux échelles tissulaire et cellulaire. La première partie est consacrée à deux modèles mathématiques continus. Le premier est un modèle macroscopique de croissance d'un cancer du sein qui se focalise sur la description du passage du stade in situ au stade invasif. Basé sur des équations d'advection d'espèces cellulaires, il tient compte de la géométrie et de l'éventuelle dégradation des tissus, dans le cas où la tumeur produit des enzymes protéolytiques qui permettent l'invasion. Le second modèle concerne le phénomène d'invadopodia, à l'échelle de la cellule. C'est un problème d'interface mobile qui décrit le changement de morphologie des cellules pré-métastatiques qui leur permet de dégrader les tissus pour migrer dans le reste de l'organisme. Chacun de ces deux modèles tient compte des couplages forts inhérents au phénomènes biologiques en jeu.La seconde partie est consacrée aux méthodes numériques développées pour résoudre ces deux problèmes et surmonter les difficultés liées aux couplages et non linéarités. Elles sont construites sur grille cartésienne uniforme, à partir des différences finies et d'une version stabilisée de la méthode Ghost fluid. Leur particularité est de tirer pleinement parti des propriétés de superconvergence de la solution du problème de Poisson, spécifiquement étudiées afin d'aboutir à la résolution des problèmes de cancer du sein et d'invadopodia à l'ordre un ou deux, en fonction de la précision désirée. Cesméthodes peuvent également être utilisées pour résoudre d'autres problèmes d'interface mobile.