Sur les sous-algèbres commutatives de M n (k)

Abstract

Soient K un corps commutatif, M n (K) la K-algèbre des matricesà n lignes et n colonnes à coefficients dans K. On montre ici que si V est unsous-espace vectoriel de M n (K) constitué de matrices qui commutent deux àdeux, alors la dimension de V est majorée par 1 + α(n) où α(n) est défini par r 2si n = 2r ou par r(r + 1) si n = 2r + 1. De plus on peut décrire les sous-espacesvectoriels constitués de matrices qui commutent deux à deux et de dimension1 + α(n). Cela nous conduit à majorer la dimension des sous-algèbres commuta-tives de M n (K) et à la description des sous-algèbres commutatives qui sont dedimension 1 + α(n). Il s’ensuit une caractérisation des sous-groupes commutat-ifs maximaux de GL n (K), ainsi que des sous-groupes unipotents maximaux deGL n (K). L’intérêt de cet article est que les démonstrations utilisent seulementles résultats classiques de l’algèbre linéaire.