Analyse spectrale des opérateurs de Toeplitz sur des espaces de Bergman et applications

Abstract

La présente thèse est consacrée à l’étude des propriétés spectrales d’une classe spécifique d’opérateurs de Toeplitz compacts sur l’espace de Bergman de fonctions holomorphes du disque unité du plan complexe. Rappelons qu’un opérateur de Toeplitz en question est défini comme la composition de la projection de Riesz sur l’espace et la multiplication par une fonction bornée donnée, que l’on appelle le symbole de l’opérateur.Plus précisément, nous considérons des opérateurs de Toeplitz avec des symboles continus à la décroissance logarithmique vers le bord du disque et nous obtenons les asymptotiques spectrales (i.e., les asymptotiques des valeurs singulières) pour ses objets. Ces résultats sont ensuite appliqués à l’étude des propriétés spectrales de certaines matrices “à bandes” compactes.L’organisation de la thèse est la suivante. Le premier chapitre est une introduction au sujet qui donne, entre outre, la formulation du problème de la thèse et présente les résultats connus sur le sujet. Le second chapitre est consacré à la présentation d’espaces de Bergman des fonctions holomorphes. On y étudie leurs propriétés générales, ainsi que les opérateurs intégraux "du type de projecteur de Riesz" qui joueront un certain rôle par la suite. Le troisième chapitre de la thèse contient les rappels nécessaires sur la théorie des opérateurs, et notamment sur les opérateurs compacts. En particulier, on y introduit la notion importante d'"orthogonalité asymptotique" d'une famille d'opérateurs compacts. Les outils de base sur les opérateurs de Toeplitz dans les espaces de Bergman sont donnés au quatrième chapitre. Enfin, le cinquième (et le dernier) chapitre du manuscrit fait la synthèse des techniques de chapitres précédentes et il est dédié à la démonstration détaillée du théorème principal de la thèse.