Hauteur normmalisée des variétés toriques projectives

Abstract

Nous presentons une expression explicite pour la hauteur normalisee d'une variete torique projective definie sur Q. Cette expression se d´ecompose comme somme de contributions locales, chaque terme etant l'integrale d'une certaine fonction concave et affine par morceaux, definie sur le polytope Q A classiquement associe a l'action du tore. Plus generalement, nous obtenons une expression explicite pour la multihauteur normalisee d'un tore relative a plusieurs plongements monomiaux. L'ensemble de fonctions introduit se comporte comme un analogue arithmetique du polytope Q A. En plus des formules pour les hauteur et multihauteurs, nous montrons que cet objet se comporte de maniere naturelle par rapport a plusieurs constructions standard: decomposition en orbites, formation de joints, produits de Segre et plongements de Veronese. La demonstration suit une demarche indirecte: a la place de la definition de la hauteur normalisee, on s'appuie sur le calcul d'une fonction de Hilbert arithmetique appropriee.