Cohomologie Weil-étale en dimension 1 et valeurs spéciales de fonctions L en 0 et 1

Abstract

Le but de cette thèse est de définir et d’étudier la cohomologie Weil-étale des schémas arithmétiques intègres de dimension 1 (i.e. des courbes sur les corps finis et des ouverts de spectres d’ordres dans des corps de nombres) à coefficients donnés par des faisceaux Z-contructibles ou, en caractéristique 0, leurs duaux (comme par exemple des modèles de Néron de tores sur des corps de nombres). Selon le formalisme établi par Flach—B. Morin, en couplant le déterminant de la cohomologie Weil-étale avec le déterminant d’un complexe additif on définit une droite fondamentale, qui a une trivialisation canonique par un théorème de dualité à coefficients réels. La trivialisation de la droite fondamentale donne une caractéristique d’Euler. On montre que les valeurs spéciales en 0 de fonctions L associées naturellement aux coefficients sont données au signe près par la caractéristique d’Euler. On obtient trois cas particuliers intéressants : une formule de valeur spéciale en s=0 et s=1 pour les fonctions L d’Artin de représentations rationnelles ; une formule de valeur spéciale en s=0 pour la fonction zêta d'un ordre et en s=1 pour une légère modification de cette dernière, ce qui généralise la formule analytique du nombre de classes ; enfin la formule en s=0 pour un faisceau constructible permet de retrouver la formule de Tate pour la caractéristique d'Euler d'un corps de nombres. Notre résultat pour les coefficients Z-constructibles généralise et améliore des travaux de Geisser—Suzuki et Tran, tandis que celui pour les duaux de Z-constructibles est l'analogue dans le cas des corps de nombres d'un résultat de Geisser—Suzuki dans le cas des corps de fonctions.