Problèmes de transmission et théorie spectrale

Abstract

La thèse est composée de deux parties. Dans la première partie, nous étudions la décroissance énergétique d'un système hyperbolique de type onde-onde avec des conditions aux limites acoustiques généralisées dans un espace de dimension d, les équations étant couplées par une connexion aux limites. Dans un premier temps, par approche spectrale combinée à un critère général d'Arendt-Batty, nous prouvons que notre modèle est fortement stable. De plus, nous prouvons le manque de stabilité exponentielle de notre système. Ensuite, dans des conditions géométriques appropriées, nous établissons différents types de taux de décroissance d'énergie polynomiale à condition que les coefficients de la condition aux limites acoustique satisfassent certaines hypothèses. Après cela, nous présentons quelques exemples appropriés et montrons que nos hypothèses ont été faites correctement. Enfin, nous prouvons que le taux de décroissance énergétique obtenu est optimal dans un cas particulier. Dans la seconde partie, nous considérons l'opérateur de Schrödinger à champ magnétique constant et potentiel lisse V, avec conditions aux limites de Dirichlet. Les propriétés spectrales de deux opérateurs avant et après addition du potentiel (notés respectivement H et H(ε)) ont été étudiées. Pour ε assez petit, nous avons étudié l'effet du potentiel V lentement variable ( ε x, ε y). En particulier, nous avons dérivé la formule de trace asymptotique et nous avons donné un développement asymptotique en puissances de ε de la fonction de décalage spectral correspondant à (H( ε), H).