Autour d'une conjecture de Gross pour les corps de fonctions

Abstract

Le contexte de cette thèse est celui des corps de fonctions en caract´eristique p > 0 et plus pr´ecis´ement celui des Zp-extensions g´eom´etriques de tels corps ; son but, l’obtention d’un critère alternatif (formul ´e en terme de semi-simplicit´e) à celui propos´e par Villa-Salvador et Madan relativement à une formulation d’une conjecture de Gross dont on rappelle l’´enonc´e ci-après. On se donne F un corps fini à q ´el´ements (q = pr si p est un nombre premier 6= 2 ) et l’on d´esigne par K un corps de fonctions alg´ebriques d’une variable de corps des constantes F. Soient K1/K une Zp-extension de groupe de Galois associ´e ? ' Zp et S l’ensemble, suppos´e fini, des places de K qui se ramifient (sauvagement) dans K1. Si l’on d´esigne par C1,S(p) la p-partie du groupe des S-classes d’id´eaux de K1 et que l’on considère l’action naturelle du groupe topologique ? sur cette dernière, on peut se demander si le groupe des invariants pour cette action (vu comme sous-groupe de C1,S(p)), à savoir C1,S(p)?, est d’ordre fini. C’est l’intitul´e auquel nous nous int´eressons. Dans le premier chapitre, on se propose de revenir sur quelques-uns des r´esultats majeurs de la th´eorie d’Artin-Schreier-Witt dont l’objet est d’offrir une description explicite en caract´eristique p > 0 des extensions cycliques de degr´e une puissance de p. Le chapitre 2 pr´esente une traduction dans le contexte des corps de fonctions de certains r´esultats fondamentaux de la th´eorie d’Iwasawa ainsi qu’une invitation, au travers d’une brève incursion au coeur de la th´eorie des modules de Carlitz, au pendant de la th´eorie cyclotomique. Ceci nous donnera en particulier l’occasion de nous attarder sur un candidat particulièrement s´eduisant pour jouer le rˆole d’analogue de la Zp-extension cyclotomique des corps de nombres. Au chapitre 3, nous pr´esentons en d´etail le contenu de l’article de Villa et Madan cit´e plus haut et sugg´erons, au travers d’exemples, que si le critère exhib´e est original et astucieux, il peut malgr´e tout se r´ev´eler difficile d’application au point peut-ˆetre de n´ecessiter une reformulation . Enfin le dernier chapitre propose de plonger la situation initiale dans un cadre m´etab´elien et, à la lumière d’un article de Greenberg, d’´etablir un critère suffisant de non-semi-simplicit´e d´ecoulant de la comparaison ”à la limite” des comportements des suites exactes des classes ambiges et des genres que l’on aura eu soin auparavant d’´etablir.