Modèles et invariants topologiques en imagerie numérique

Abstract

Cette thèse s’intéresse aux structures et outils topologiques utilisés en imagerie. Un premier travail a consiste en une étude comparative des principaux modèles et outils associés. Cette synthèse préliminaire a orienté notre recherche dans deux directions. Il s'est d'abord agi de comparer formellement les modèles topologiques cellulaires utilises pour représenter des images et d'expliciter les liens qui peuvent les unir. Une telle démarche peut en effet permettre de mieux comprendre la structure interne de ces modèles et de les enrichir mutuellement. Deux comparaisons précises ont été réalisées. La première concerne des modèles utilises dans le cadre d'une représentation d'image au niveau pixel. Elle caractérise de manière purement combinatoire une classe de structures cellulaires compatible avec des notions de connexité, préalablement restreintes aux complexes polyédriques. La deuxième confronte des modèles dédiés a la représentation de surfaces et de subdivisions d'espaces. Elle prouve l’équivalence de deux d'entre elles, qui sont respectivement des sous-classes des ordres et des cartes généralisées, et donne la définition des fonctions de conversion associées. Notre second axe de recherche concerne l'exploitation de l'information topologique contenue dans ces structures. A cette fin, on s'appuie traditionnellement sur des invariants topologiques. Certains ont déjà été envisages dans ce contexte (caractéristique d'Euler, groupes d'homotopie...). Une autre famille d'invariants , appelés groupes d'homologie, fait l'objet de notre dernière étude. Un algorithme de calcul de ces groupes regroupant diverses améliorations a été proposé et expérimentalement valide.