Différentes approches de la théorie l-adique du corps des classes.

Abstract

Neukirch a développé la théorie abstraite du corps des classes dans son livre "Class Field Theory". Nous montrons qu'il est possible de déduire la théorie ℓ-adique de Jaulentdu travail de Neukirch. La preuve nécessite, dans les deux cas (le cas local et le cas global) de définir les applications degré, les G-modules, valuations convenables et de prouver l'axiome du corps des classes. Puis nous montrons qu'en considérant le même objet local, mais cette fois-ci muni de la valuation logarithmique, et en remplaçant l'extension maximale non ramifiée du corps local considéré par la ℤℓ-extension cyclotomique, la théorie de Neukirch s'applique également, permettant ainsi de définir un symbole local logarithmique et un symbole global. Nous sommes alors en mesure de définir le Frobenius logarithmique associé à une place p logarithmiquement non ramifiée, ce qui conduit naturellement à une application d'Artin logarithmique, dont nous étudions le noyau et les propriétés. Cela nécessite au préalable de définir le conducteur logarithmique associé à une ℓ-extension abélienne finie. Nous introduisons alors les sous-modules de congruences logarithmiques, pour lesquels nous définissons le conducteur logarithmique associé à une classe d'équivalence sur ces modules. Nous prouvons l'égalité entre le conducteur logarithmique global d'une ℓ-extension et le conducteur de la classe de congruences qui lui est associé.