Équations fonctionnelles de Mahler et applications aux suites p-régulières

Abstract

Le concept de suite p-régulière, introduit par Allouche et Shallit, généralise celui de suite p-automatique. La série génératrice d'une telle suite est considérée, tantôt comme une série formelle, tantôt comme une fonction holomorphe (dans le cas complexe) ; elle vérifie une équation fonctionnelle linéaire, dite de Mahler. Ce travail étudie ces équations fonctionnelles de façon générale, pour les appliquer au cas particulier des suites p-régulières.Le cadre formel est celui des chapitres 1, 2 et 3. On y étudie certaines structures mahlériennes. Le chapitre 4 montre la transcendance des solutions non rationnelles, par l'étude de leurs singularités. On étend ainsi un résultat bien connu dans le cas automatique. Le chapitre 5, répondant à une question posée par Rubel, montre que, dans un cas, les solutions non rationnelles sont différentiellement transcendantes (ou hypertranscendantes). Le chapitre 7, reprenant des méthodes bien connues, s'appuie sur le chapitre 4 pour établir la transcendance des valeurs prises, s'intéressant ainsi à une question posée par Allouche et Shallit. Le chapitre 8 montre un résultat très partiel en direction d'une conjecture de Loxton et van der Poorten. Le chapitre 6 esquisse une étude dans le cas non linéaire.