Calcul de polynômes modulaires en dimension 2

Abstract

Les polynômes modulaires sont utilisés dans le calcul de graphes d’isogénies, le calcul des polynômes de classes ou le comptage du nombre de points d’une courbe elliptique, et sont donc fondamentaux pour la cryptographie basée sur les courbes elliptiques. Des polynômes analogues sur les surfaces abéliennes principalement polarisées ont été introduits par Régis Dupont en 2006, qui a également proposé un algorithme pour les calculer, et des résultats théoriques sur ces polynômes ont été donnés dans un article de Bröker–Lauter, en 2009. Mais les polynômes sont très gros et ils n’ont pu être calculés que pour l’exemple minimal p = 2. Dans cette thèse, nous poursuivons les travaux de Dupont et Bröker–Lauter en permettant de calculer des polynômes modulaires pour des invariants basés sur les thêta constantes, avec lesquels nous avons pu calculer les polynômes jusqu’à p = 7, tout en démontrant des propriétés de ces polynômes. Mais des exemples plus grands ne semblent pas envisageables. Ainsi, nous proposons une nouvelle définition des polynômes modulaires dans laquelle l’on se restreint aux surfaces abéliennes principalement polarisées qui ont multiplication réelle par l’ordre maximal d’un corps quadratique réel afin d’obtenir des polynômes plus petits. Nous présentons alors de nombreux exemples de polynômes et des résultats théoriques.