Convergence of a cartesian method for elliptic problems with immersed interfaces

Abstract

Nous étudions dans ce rapport la convergence d’une méthode sur grille cartésienne pourdes problèmes elliptiques avec des interfaces immergées, introduite dans un article précédent. Cette méthode repose sur l’utilisation d’inconnues supplémentaires situées sur l’interface, qui servent à discrétiser séparémentl’opérateur elliptique dans chaque sous-domaine et à exprimer avec une précision suffisante les conditionsde saut au travers de l’interface. Il a été montré numériquement que cette méthode converge àl’ordre deux en norme L∞. Cet article est un pas en avant vers la preuve de la convergence de cetteméthode. En effet, nous prouvons la convergence dans deux cas: celui de la méthode originale en unedimension, et celui d’une version à l’ordre un, mais en deux dimensions. La preuve de convergence faitappel à des fonctions de Green discrètes et tire profit d’un principe du maximum discret pour obtenir desestimations des coefficients de la matrice inverse.