Extensions de la théorie de l'échantillonnage : échantillonnage sur des espaces de type homogène et échantillonnage le long de courbes

Abstract

Dans cette thèse, nous étudions différentes variations des inégalités d’échantillonnage. Tout d’abord, en reflétant un résultat dans [56], nous donnons des conditions pour l’échantillonnage des fonctions de Besov définies sur des variétés Riemanniennes compactes et des espaces de type homogène. Les techniques utilisées pour prouver ces résultats sont basées sur la décomposition des fonctions lisses en ondelettes disponibles dans ces deux contextes. De plus, comme dans le cas de l’euclidien, cette caractérisation par une expansion en ondelettes permet d’approfondir l’étude des espaces de Besov, obtenant ansi un théorème de trace et des résultats sur leur régularité locale (inspirés des stratégies développées dans [21, 54]). Enfin, nous passons à travailler dans le cadre classique de la théorie de l’échantillonnage, mais en changeant la façon dont les échantillons sont pris: au lieu de prendre un ensemble de points discrets, nous considérons un certain type de courbes. En particulier, nous déterminons la fréquence de Nyquist pour les spirales lorsque nous échantillonnons des fonctions à bande limitée. Nous montrons ensuite qu’en dessous de cette fréquence, la quantité de sous-échantillonnage que les signaux compressibles admettent lorsqu’ils sont échantillonnés en spirale est limitée.