Applications of complex analysis to the phase retrieval problem

Abstract

Dans cette thèse, notre objectif est d’appliquer des outils d’analyse complexe pour déterminer les solutions et étudier la stabilité de certains problèmes de reconstruction de phase. Nous étudions d’abord le problème de réconstruction de phase pour les signaux à large bande, des fonctions dont les transformées de Fourier sont lentement décroissantes. Nous ramenons ce problème, via une transformation conforme, à un problème de phase dans l’espace de Hardy, le théorème de factorisation de Beurling nous permet de résoudre complètement ce problème. Nous donnons ensuite des résultats d’unicité sur le problème de réconstruction de phase dans l’espace de Hardy. Plus précisément, nous montrons que certaines fonctions holomorphes sont déterminées de manière unique par leurs modules sur deux segments qui se croisent et dont l’angle n’est pas un multiple rationnel de "Pi" ou sur deux cercles concentriques. Enfin, nous étudions l’effet de "zero-flipping" sur la stabilité du problème de réconstruction de phase pour les fonctions de la classe de Paley-Wiener, le "zeroflipping" fait référence ici au remplacement des zéros par leurs conjugués complexes. Nous utilisons les propriétés analytiques de l’opérateur "zero-flipping" ainsi que sa transformées de Fourier pour obtenir les résultats sur la stabilité.