Contributions à la dynamique linéaire, au processus de rafle, et à la regularité des applications Lipschitziennes

Abstract

Cette thèse traite de trois thèmes liés aux opérateurs linéaires définis sur des espaces de dimension infinie et de deux sujets de l'analyse réelle et de l'analyse variationelle dans des espaces de dimension finie.Le premier chapitre contient les préliminaires de la théorie des espaces de Banach qui seront utilisés dans les trois premiers thèmes.Le deuxième chapitre est une caractérisation de certains types d'operateurs linéaires bornées en termes de la différentiabilité des fonctions lipschitziennes.Nos résultats incluent une caractérisation pour les opérateurs de rang fini, compacts, limités et faiblement compacts.Les troisième et quatrième chapitres concernent la dynamique linéaire : nous étudions respectivement l'epsilon-hypercyclicité et les opérateurs dits "sauvages".Nous établissons un critère d'epsilon-hypercyclicité avec lequel nous pouvons construire des opérateurs epsilon-hypercycliques dans une large classe d'espaces de Banach séparables.En ce qui concerne les opérateurs sauvages, nous obtenons quelques résultats sur leurs spectres et sur la fermeture en norme de l'ensemble des opérateurs sauvages dans l'espace des opérateurs linéaires bornés.De plus, nous introduisons et explorons le concept d'ensembles asymptotiquement séparés pour construire des opérateurs linéaires avec des propriétés dynamiques intéressantes.Le cinquième chapitre est une généralisation de l'inégalité de Kurdyka-Łojasiewicz pour les fonctions multivaluées qui ne sont pas nécessairement définissables dans une structure o-minimale.Nous caractérisons les fonctions multivaluées lisses qui satisfont une désingularisation de la codérivée en termes de longueur des orbites du processus de rafle associé ainsi que de l'intégrabilité du talweg orienté.Le dernier chapitre est consacré aux fonctions Lipschitz absolument minimales (AML).La contribution principale est une caractérisation de la régularité de les fonctions AML planaires en termes de la régularité de la norme sous-jacente.