Apprentissage dans les disques de Poincaré et de Siegel de séries temporelles multidimensionnelles complexes suivant un modèle autorégressif gaussien stationnaire centré : application à la classification de données audio et de fouillis radar

Abstract

L’objectif de cette thèse est la classification de séries temporelles à valeurs complexes suivant un modèle autorégressif gaussien stationnaire centré. Nous étudions le cas des séries temporelles unidimensionnelles ainsi que le cas plus général des séries temporelles multidimensionnelles. L'apport de cette thèse est à la fois méthodologique et technique. La méthodologie présentée permet de représenter les lois des séries temporelles observées dans une variété riemannienne dans laquelle la classification sera effectuée. Les étapes majeures de notre méthode sont : la définition de l'espace des coefficients du modèle paramétrique permettant de représenter les séries temporelles considérées, l'estimation des coefficients du modèle paramétrique à partir de séries temporelles observées, munir l'espace des coefficients du modèle paramétrique d'une métrique riemannienne inspirée de la géométrie de l'information et enfin l'adaptation d'algorithmes de machine learning classiques aux variétés riemanniennes obtenues. Dans le cas des séries temporelles multidimensionnelles, nous travaillerons dans un espace produit qui fait intervenir le disque de Siegel (ensemble des matrices complexes de valeurs singulières strictement inférieures à 1) muni d'une métrique riemannienne produit. En plus de l'apport méthodologique évoqué précédemment, nous apportons des outils théoriques nouveaux pour classifier des données dans la variété de Siegel : nous donnons les formules explicites du logarithme riemannien, de l'exponentielle riemannienne et de la courbure sectionnelle de la variété obtenue sur l'espace de Siegel. Notre modèle de représentation des séries temporelles complexes suivant un modèle autorégressif gaussien stationnaire centré sera appliqué à la classification de séries temporelles simulées, au clustering de fouillis radar et à la classification de séries temporelles audio stéréo stationnaires.