Dynamique de l'équation de Klein-Gordon à valeurs propres mal séparées

Abstract

Le sujet de thèse porte sur la dynamique des équations non-linéaires de Klein-Gordon. Le but de la thèse est d'obtenir des résultats nouveaux dans le domaine de la croissance des normes de Sobolev de ces équations en attaquant des modèles non étudiés dans la littérature. Les nouvelles armes mathématiques au-delà de l'analyse standard (et pseudo-différentielle) sont la théorie des probabilités et des résultats fins en théorie de l'approximation diophantienne. La situation est assez bien comprise lorsque la variété étudiée est le tore unidimensionnel (Bourgain, 1996) ou les sphères (Bambusi-Delort-Grebért-Szeftel, 2007). En 2017, Delort et Imekraz ont montré, sous des conclusions dynamiques plus faibles, que l'on peut atteindre toute variété. A l'heure actuelle voici des champs qui méritent d'être prolongés : -Dans le travail de Delort-Imekraz, le résultat obtenu est implicite (de façon précise, les temps d'existence obtenus ne sont pas connus explicitement). Nous souhaitons rendre ces résultats explicites en travaillant par exemple sur des variétés compactes à courbure négative. Il est à noter que ce type de variété n'est pas étudié d'un point de vue non-linéaire (notamment en raison d'une très mauvaise connaissance de l'analyse spectrale). -A la place de l'opérateur Laplacien sur une variété compacte, on souhaite également étudier des situations non compactes mais compensées par des potentiels quadratiques. Autrement dit, on souhaite étudier l'oscillateur harmonique sur R^d. L'un des buts est de prolonger certains résultats de [Zhang,2016]. Nous pensons aussi que cette approche permettrait de traiter des potentiels quadratiques à coefficients algébriques (voire quelconques). -Dans les approches actuelles, les valeurs propres (par le biais de la qualité de leur séparation) constituent l'obstruction primordiale. Une fois cette obstruction passée, les fonctions propres méritent une attention particulière. Malheureusement, hormis des cas explicites, les fonctions propres ne sont pas calculables explicitement. Nous souhaitons étudier l'impact de l'utilisation de fonctions propres aléatoires. Ces dernières ont l'avantage de vérifier des estimations souvent optimales (Burq-Lebeau 2006, Thomann-Robert 2014). On devrait obtenir un gain qu'il s'agit d'utiliser convenablement.