Développement d'un modèle numérique de propagation dispersive de tsunamis

Abstract

Les tsunamis générés par des effondrements de terrain se caractérisent par des longueurs d'onde courtes et des amplitudes élevées, comparées à la profondeur. Leur propagation est soumise à la dispersion fréquentielle. Dans le cadre des missions de surveillance du Département Analyse Surveillance Environnement (DASE) du CEA, l'enjeu est de simuler numériquement ces tsunamis d'origine gravitaire et d'estimer les hauteurs d'inondation. Actuellement, la génération du tsunami est simulée en champ proche par un code dédié, tandis que leur propagation est simulée en champ lointain par le code TAITOKO. Ce code est également utilisé par le Centre français d'alerte aux tsunamis (CENALT), hébergé par le CEA, dont la mission est de prévoir les hauteurs d'eau des tsunamis d'origine tectonique à l'arrivée sur les c^otes françaises et de lancer les alertes. La propagation de ces des tsunamis d'origine gravitaire en Méditerrannée peut ^etre dispersive pour des séismes de magnitude inférieure à 7 environ. Jusqu'à présent, la propagation dispersive pour les tsunamis d'origine gravitaire ou tectonique est modélisée en résolvant les équations de Boussinesq standard. Ce modèle de Boussinesq considère les vagues faiblement dispersives et faiblement non linéaires, mais ne peut pas traiter de vague fortement non-linéaire ou fortement dispersive. Le caractère dispersif est pourtant essentiel dans les configurations qui nous intéressent. L'objectif de cette thèse est d'implémenter dans TAITOKO une nouvelle approche permettant de traiter les ondes courtes non linéaires. Nous utilisons pour celà un modèle de Boussinesq amélioré qui est résolu numériquement avec une nouvelle méthode basée sur une combinaison de différences finies centrées d'ordre 4 (DF4) et d'une méthode d'intégration en temps originale de type Lax-Wendroff simplifié d'ordre 3 appelée LW3e. Plusieurs méthodes d'intégration temporelle résolvant les équations de Boussinesq améliorées 1D sont implémentées et comparées à travers une analyse spectrale et la modélisation de benchmarks dispersifs [9]. La nouvelle approche LW3e-DF4 génère des résultats aussi précis que la méthode Runge-Kutta d'ordre 3 (RK3) avec un temps de calcul réduit de 35-40% en 1D. La méthode LW3e-FD4 est ensuite étendue au 2D en prenant soin de préserver certains états stationnaires physiquement pertinents, ainsi que certaines symétries des opérateurs différentiels impliqués. Cette dernière propriété semble ^etre cruciale pour la stabilité de la méthode. Les équations qui permettent l'évaluation des termes dispersifs dans le système 2D sont interdépendantes. La discrétisation des termes dispersifs conduit à un grand système d'équations algébriques. Plusieurs formulations et méthodes d'inversion de matrices ont été mises en oeuvre pour résoudre ce système. L'efficacité de ces méthodes est comparée avec une implémentation séquentielle. La combinaison formulation-méthode d'inversion la plus efficace est obtenue en séparant la résolution des deux équations en équations pseudo monodimensionnelles en ligne/colonne, ce qui permet l'utilisation d'itérations de la méthode de Gauss-Seidel. L'implémentation 2D parallélisée est validée par des cas multidimensionnels qui confirment l'efficacité de la nouvelle méthode LW3e-DF4 par rapport à une méthode classique RK3-DF4.