Étude de la répartition de certaines sommes exponentielles courtes

Abstract

Cette thèse porte sur des propriétés d'équirépartition de certaines sommes exponentiellesqui apparaissent naturellement en théorie analytique des nombres. Dans un premier temps, nous étendons des résultats de Duke, Garcia, Hyde et Lutz concernant des sommes de caractères additifs sur F_p, mais restreintes au groupe µ_d(F_p) des racines d-èmes de l'unité, pour un entier d fixé. Nous démontrons d'abord un résultat d'équirépartition portant sur des familles de sommes exponentielles paramétrées par le corps fini tout entier. Nous montrons ensuite qu'il y a toujours équirépartition si nos familles sont paramétrées par des "petits" sous-groupes multiplicatifs de F_p*. Cette généralisation s'appuie sur des majorations de sommes exponentielles qui ont été obtenues par Bourgain, Chang, Glibichuk et Konyagin par des méthodes de combinatoire additive.Dans un second temps, nous présentons les résultats d'un travail en commun avec Kowalski, où nous étendons les résultats précédents au cas des sommes exponentielles indexées par l'ensemble des racines dans F_p d'un polynôme unitaire à coefficients entiers. Nous montrons que ces sommes s'équirépartissent par rapport à une mesure qui est liée au groupe des relations additives entre les racines complexes du polynôme. On établit l'équirépartition des sommes de caractères multiplicatifs indexées par les racines d'un polynôme, mais cette fois-ci par rapport à une mesure qui est liée au groupe des relations multiplicatives entre les racines complexes. Nous présentons également des généralisations à des sommes de fonctions traces plus générales, ayant pour principal corollaire un résultat d'équirépartition de sommes de sommes de Kloosterman translatées par les racines d'un polynôme.Enfin, un chapitre de ce manuscrit est dédié à la majoration de la discrépance, qui est une mesure de la vitesse d'équirépartition.