Les problèmes Anneau des endomorphismes et Un endomorphisme supersinguliers sont équivalents

Abstract

Le problème Anneau des endomorphismes supersingulier est le suivant : étant donnée une courbe elliptique supersingulière, calculer tous ses endomorphismes. La difficulté supposée de ce problème est une fondation de la cryptographie à base d'isogénies. Le problème Un endomorphisme demande seulement de trouver un seul endomorphisme non scalaire. Nous prouvons que ces deux problèmes sont équivalents, sous une réduction en temps polynomial probabiliste. Nous prouvons plusieurs conséquences. Premièrement, en supposant le problème Anneau des endomorphismes difficile, la fonction de hachage de Charles--Goren--Lauter résiste aux collisions, et le protocole d'identification SQIsign est sain. Deuxièmement, le problème Anneau des endomorphismes est équivalent au problème de calculer des isogénies arbitraires entre courbes elliptiques supersingulières, un résultat qui était auparavant connu uniquement pour les isogénies de degré friable. Troisièmement, il existe inconditionnellement un algorithme probabiliste résolvant le problème Anneau des endomorphismes en temps O~(sqrt(p)), un résultat qui nécessitait de supposer l'hypothèse de Riemann généralisée avant notre travail. Afin de prouver notre résultat principal, nous introduisons un cadre flexible pour l'étude des graphes d'isogénies avec information supplémentaire. Nous prouvons un théorème de mélange rapide qui est général et facile à utiliser. La preuve de ce résultat passe par une version augmentée de la correspondance de Deuring et la correspondance de Jacquet-Langlands.