Modélisation du problème de Stefan instationnaire par la méthode des frontières décalées : application au dégivrage

Abstract

Ce manuscrit présente une version enrichie de la méthode des frontières décalées (SBM) appliquée aux simulations par éléments finis sur des problèmes à frontières libres et mobiles. Le modèle étudié est le problème de Stefan, un modèle académique complexe pour la simulation de problèmes avec fronts de fusion. Plus précisément, le problème physique étudié dans ce manuscrit est le problème de fusion intervenant lors du dégivrage des avions. L’objectif est de développer des systèmes de dégivrage électrique plus efficaces, un défi majeur pour l’industrie aéronautique. Dans le cadre du développement de systèmes de dégivrage à résistance thermique, la modélisation par méthode à frontières immergées est une alternative qui apporte de nombreux avantages. Dans cette catégorie de méthodes, la méthode aux frontières décalées permet l’utilisation d’un seul maillage non conforme à la géomètrie où l’interface physique est remplacée par une interface numérique dont la définition dépend des éléments du maillage traversé par la véritable interface. La version d’ordre élevé proposée consiste à l’enrichissement de la formulation faible discrétisée du problème dans sa formulation mixte, permettant une précision d’ordre deux en espace sur la variable primale et son gradient, en temps et sur la position d’interface. Le lien entre les fonctions tests P1 et P2, ainsi que les développements de Taylor sur les conditions d’interface, du front physique à l’interface numérique, permettent d’obtenir une méthode précise sur un maillage non conforme. Sans précautions, l’utilisation de la méthode des frontières décalées avec fronts mobiles peut conduire à des instabilités qui peuvent se propager ou s’amplifier. Pour comprendre ces phénomènes, une étude de stabilité est effectuée sur une linéarisation du modèle autour d’un état stationnaire. Le modèle linéarisé est utilisé pour obtenir une relation de dispersion caractérisant les modes de dispersion du modèle en fonction du choix de conditions aux bords. Des tests numériques sont effectués pour démontrer la performance, la robustesse, la précision de la méthode ainsi que la stabilité du modèle par rapport aux perturbations de l’interface et sur le champ de température.