Variétés abéliennes sur les corps de fonctions : aspects métriques des points de torsion et applications

Abstract

Dans cette thèse, on démontre le caractère discret du groupe de torsion d’une variété abélienne sur un corps local non archimédien pour une certaine topologie. Ce résultat est motivé par le fait qu’il n’existait qu’en caractéristique nulle avant cette thèse et nous parvenons ici à lever cette hypothèse. Pour cela on construit, dans la première partie, une distance sur les variétés projectives, qui sont des exponentielles de hauteurs locales, afin de définir une topologie sur l’ensemble des points algébriques. On étend ensuite cette première distance à la distance entre un point et un sous-schéma fermé quelconque. L’objectif devient ensuite de construire des distances équivalentes à la précédente pour arriver à une distance ayant des propriétés supplémentaires. Pour cela on construit une distance équivalente sur une variété projective définie sur un corps local K en considérant un modèle projectif sur l’anneau des entiers du corps K. Pour obtenir de nouvelles propriétés algébriques, on se restreint aux variétés abéliennes afin de définir une distance compatible avec les précédentes et ayant les propriétés supplémentaires recherchées. On l’obtient en construisant une variété projective autour de la composante neutre du modèle de Néron de la variété abélienne de départ. Cette nouvelle distance, compatible avec la topologie, nous permet de réduire notre problème à montrer que le neutre est un point isolé du groupe de torsion pour cette topologie. Dans la seconde partie de cette thèse, on redéfinit la notion de groupe formel et on cherche à en construire un que l’on associe à un voisinage du neutre de la fibre spéciale du modèle de Néron de notre variété abélienne. Les propriétés de la distance et du groupe formel construit nous permettent de démontrer que le groupe de torsion d’une variété abélienne est discret. Nous concluons en démontrant le cas particulier de la conjecture de Tate et Voloch sur une variété abélienne sur un corps local non archimédien pour un fermé de dimension nulle.