Factorisation des opérateurs différentiels en caractéristique positive.

Abstract

L’étude des opérateurs différentiels linéaires est une partie importantede l’étude algébrique des équations différentielles. Les anneaux d’opérateursdifférentiels linéaires partagent de nombreuses propriétés avec les anneaux depolynômes, mais le caractère non commutatif de la multiplication rend la conceptiond’algorithmes de factorisation plus compliquée. L’objet de cette thèse est ledéveloppement d’un algorithme calculant un facteur droit irréductible d’un opérateurdifférentiel linéaire donné dont les coefficients sont des éléments d’un corps defonctions algébriques de caractéristique p. La situation diffère grandement duproblème analogue en caractéristique 0 car les corps de fonctions algébriques decaractéristique positive sont de dimension finie sur leur corps des constantes. Dececi découle une structure additionnelle d’algèbre d’Azumaya qui fournit des outilssupplémentaires pour attaquer le problème de la factorisation.Une première étape est le calcul de la p-courbure, un invariant classique de premièreimportance des opérateurs différentiels en caractéristique p. Le premier résultatsignificatif de cette thèse est un algorithme calculant, pour un opérateur différentiel Len caractéristique 0 et un entier N ∈ N donnés, tous les polynômes caractéristiquesdes p-courbures des réductions de L modulo p, pour tous les nombres premiers p ⩽N.La deuxième partie de la thèse est consacrée à la factorisation en elle-même. Nousutilisons la structure d’algèbre d’Azumaya pour montrer que la recherche de facteursirréductibles à droite revient à la résolution de l’équation de p-Riccatif^{ (p−1) }+ f^p = a^pdans K[a], où a est une certaine fonction algébrique sur K. Cette observation nouspermet de développer deux algorithmes importants. Le premier est une applicationdu principe global-local conduisant à un test d’irréductibilité de complexitépolynomiale pour les opérateurs différentiels. Le second est un algorithme derésolution de l’équation de p-Riccati utilisant plusieurs outils de la géométriealgébriques pour les courbes, dont les espaces de Riemann-Roch et les groupes dePicard. Nous effectuons une analyse de complexité approfondie de cet algorithme etmontrons que l’équation de p-Riccati admet toujours une solution dont la taille estcomparable à celle du paramètre a. Cet algorithme rend en particulier possible lafactorisation des opérateurs centraux (un cas qui a souvent été laissée de côté par lepassé) et diminue la taille des facteurs droits irréductibles d’opérateurs différentielslinéaires d’un facteur p en comparaison des travaux précédents. On en déduitfinalement un algorithme de factorisation complet pour les opérateurs différentielslinéaires de caractéristique positive.