Méthodes numériques pour la tomographie par impédance électrique dans le cadre de l’électrocardiographie

Abstract

La tomographie par impédance électrique (EIT) est une technique d’imagerie non invasive visant à reconstruire la distribution de conductivité électrique à l’intérieur d’un domaine en appliquant des courants électriques au bord du domaine à des électrodes et en mesurant les tensions résultantes. Mathématiquement, le problème, connu sous le nom de problème de Calderón ou problème inverse de conductivité, est un problème inverse fortement mal posé. L’inconnue principale de ce problème inverse est la conductivité, mais des manques d’information pour d’autres variables telles que la forme géométrique du domaine dans lequel nous visons à reconstruire la conductivité, ainsi que les positions des électrodes, peuvent influencer la qualité de la reconstruction. Par conséquent, nous considérons le problème EIT avec une géométrie inconnue mobile. La résolution d’un tel problème peut être coûteuse en terme de calcul, en particulier lors de l’utilisation de méthodes numériques qui nécessitent un maillage adapté à cause des étapes de remaillage. Pour éviter celles-ci, nous proposons une approche par méthode de frontière immergée (IBM) pour la résolution numérique du modèle d’électrode complet en tomographie par impédance électrique. Cette méthode permet l’utilisation d’un maillage cartésien sans nécessiter une discrétisation précise de la frontière, ce qui s’avère utile dans les situations où la frontière est complexe et/ou changeante. Nous démontrons la convergence de notre méthode et en illustrons l’efficacité dans des problèmes directs et inverses en deux dimensions. L’utilisation de méthodes de frontière immergée pour résoudre le problème direct permet également une parallélisation aisée de laméthode et le développement d’un code parallèle dédié au problème direct. Il est à noter que ce travail s’inscrit dans le contexte de l’imagerie électrocardiographique (ECGi). Pour l’ECGi, l’inconnue principale est l’activité électrique du coeur. L’objectif à long terme est d’évaluer si l’EIT peut fournir plus d’informations sur la conductivité des organes à l’intérieur du volume du torse. Dans cette thèse, notre méthode a été testée sur unmodèle de torse très simplifié pour la reconstruction de la conductivité. D’autres tests ont été réalisés pour évaluer notre méthode en utilisant des données réelles issues demesures sur des cuves.