Codage du flot géodésique sur les surfaces hyperboliques de volume fini

PIT, Vincent

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PIT, Vincent
Institut de Mathématiques de Bordeaux [IMB]

Langue

Thèses de doctorat

École doctorale

Mathématiques, Sciences et Technologies de l'Information (Informatique)

Résumé

Cette thèse traite de l'étude des objets reliés au codage de Bowen-Series du flot géodésique pour des surfaces hyperboliques de volume fini. On démontre d'abord que le billard géodésique associé à domaine fondamental "even corners" d'un groupe fuchsien cofini est conjugué à une bijection du tore, appelée codage étendu, dont l'un des facteurs est la transformation de Bowen-Series. L'intérêt principal de cette conjugaison est qu'elle ne fait toujours intervenir qu'un nombre fini d'objets. On retrouve ensuite des résultats classiques sur le codage de Bowen-Series : il est orbite-équivalent au groupe, ses points périodiques sont denses, et ses orbites périodiques sont en bijection avec les classes d'équivalence d'hyperboliques primitifs du groupe ; ce qui permet finalement de relier sa fonction zeta de Ruelle à la fonction zeta de Selberg. Les preuves de ces résultats s'appuient sur un lemme combinatoire qui abstrait la propriété d'orbite-équivalence à des familles de relations qui peuvent être définies sur tout ensemble sur lequel agit le groupe. Il est aussi possible de conjuguer le codage étendu à un sous-shift de type fini, sauf pour un ensemble dénombrable de points. Enfin, on prouve que les distributions propres pour la valeur propre 1 de l'opérateur de transfert sont les distributions de Helgason de fonctions propres du laplacien sur la surface, puis que l'on peut associer à toute telle distribution propre une fonction propre non triviale de l'opérateur de transfert et que ce procédé admet un inverse dans certains cas< Réduire

Résumé en anglais

This thesis focuses on the study of the objects linked to the Bowen-Series coding of the geodesic flow for hyperbolic surfaces of finite volume. It is first proved that the geodesic billiard associated with an "even corners" fundamental domain for a cofinite fuchsian group is conjugated with a bijection of the torus, called extended coding, one factor of which is the Bowen-Series transform. The sharpest property of that conjugacy is that it always only involves a finite number of objects. Some classical results about the Bowen-Series coding are then rediscovered : it is orbit-equivalent with the group, its periodic points are dense, and its periodic orbits are in bijection with conjugacy classes of primitive hyperbolic isometries ; which eventually links its Ruelle zeta function to the Selberg zeta function. The proofs of those results use a combinatorial lemma that abstracts the orbit-equivalence property to families of relations that can be defined on every set on which the group acts. The extended coding is also proved to be conjugated with a subshift of finite type, except for a countable set of points. Finally, it is shown that eigendistributions of the transfer operator for the eigenvalue 1 are the Helgason boundary values of eigenfunction of laplacian on the surface, plus that one can associate to each such eigendistribution a non-trivial eigenfunction of the transfer operator and that this process has a reciprocal in some cases.< Réduire

Mots clés

Géométrie hyperbolique

flot géodésique

billard

codage de Bowen-Series

orbite-équivalence

sous-shift de type fini

fonction zeta de Selberg

opérateur de transfert

laplacien hyperbolique

distribution de Helgason

Mots clés en anglais

Hyperbolic geometry

geodesic flow

billiard

Bowen-Series coding

orbit-equivalence

subshift of finite type

Selberg zeta function

transfer operator

hyperbolic laplacian

Helgason boundary value

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