Autour du problème de la couronne

Abstract

On s'intéresse dans un premier temps à un problème de division dans les espaces de Hardy de la boule B de C^n. Il s'agit, étant données m fonctions g_1,...,g_m holomorphes et bornées dans B, et une fonction f holomorphe dans B, de donner une condition suffisante, plus faible que l'hypothèse classique de la couronne, pour qu'il existe m fonctions f_1,...,f_m dans un espace de Hardy de B vérifiant f_1g_1+...+f_mg_m=f. La démonstration repose sur l'utilisation du complexe de Koszul, et la résolution du d" avec de bonnes estimations. La principale nouvelle difficulté, par rapports aux travaux antérieurs, provient du fait que les fonctions g_1,...,g_m peuvent s'annuler simultanément. Dans un deuxième temps on s'intéresse au problème de la couronne dans les espaces de Hardy du bidisque muni de son bord topologique. On donne un résultat de résolution du d" dans le bidisque avec estimations dans Lp du bord de celui-ci, quand les donnnées vérifient des hypothèses de type Carleson. Enfin on termine avec un résultat permettant de déduire d'un théorème de la couronne dans un espace de Hardy d'un domaine de C^n, un théorème de la couronne à valeurs dans des espaces vectoriels de dimension finie. Ceci nous permet d'obtenir un théorème de la couronne opérateur dans les espaces de Hardy de la boule et du polydisque muni de son bord distingué.