Codes correcteurs d’erreur quantique topologiques au-delà de la dimension 2

Abstract

La mémoire quantique est constituée de matériaux présentant des effets quantiques comme la superposition. C’est cette possibilité de superposition qui distingue l’élément élémentaire de mémoire quantique, le qubit, de son analogue classique, le bit. Contrairement à un bit classique, un qubit peut être dans un état différent de l’état 0 et de l’état 1. Une difficulté majeure de la réalisation physique de mémoire quantique est la nécessité d’isoler le système utilisé de son environnement. En effet l’interaction d’un système quantique avec son environnement entraine un phénomène appelé décohérence qui se traduit par des erreurs sur l’état du système quantique. Dit autrement, à cause de la décohérence, il est possible que les qubits ne soient pas dans l’état dans lequel il est prévu qu’ils soient. Lorsque ces erreurs s’accumulent le résultat d’un calcul quantique a de grandes chances de ne pas être le résultat attendu. La correction d’erreur quantique est un ensemble de techniques permettant de protéger l’information quantique de ces erreurs. Elle consiste à réaliser un compromis entre le nombre de qubits et leur qualité. Plus précisément un code correcteur d’erreur permet à partir de N qubits physiques bruités de simuler un nombre plus petit K de qubits logiques, c’est-à-dire virtuels, moins bruités. La famille de codes la plus connue est sans doute celle découverte par le physicien Alexei Kitaev: le code torique. Cette construction peut être généralisée à des formes géométriques (variétés) autres qu’un tore. En 2014, Larry Guth et Alexander Lubotzky proposent une famille de code définie à partir de variétés hyperboliques de dimension 4 et montrent que cette famille fournit un compromis intéressant entre le nombre K de qubits logiques et le nombre d’erreurs qu’elle permet de corriger. Dans cette thèse, nous sommes partis de la construction de Guth et Lubotzky et en avons donné une version plus explicite et plus régulière. Pour définir un pavage régulier de l’espace hyperbolique de dimension 4, nous utilisons le groupe de symétrie de symbole de Schläfli {4, 3, 3, 5}. Nous en donnons la représentation matricielle correspondant au modèle de l’hyperboloïde et à un hypercube centré sur l’origine et dont les faces sont orthogonales aux quatre axes de coordonnée. Cette construction permet d’obtenir une famille de codes quantiques encodant un nombre de qubits logiques proportionnel au nombre de qubits physiques et dont la distance minimale croît au moins comme N0.1. Bien que ces paramètres soient également ceux de la construction de Guth et Lubotzky, la régularité de cette construction permet de construire explicitement des exemples de taille raisonnable et d’envisager des algorithmes de décodage qui exploitent cette régularité. Dans un second chapitre nous considérons une famille de codes quantiques hyperboliques 4D de symbole de Schläfli {5, 3, 3, 5}. Après avoir énoncé une façon de prendre le quotient des groupes correspondant en conservant la structure locale du groupe, nous construisons les matrices de parité correspondant à des codes quantiques ayant 144, 720, 9792, 18 000 et 90 000 qubits physiques. Nous appliquons un algorithme de Belief Propagation au décodage de ces codes et analysons les résultats numériquement. Dans un troisième et dernier chapitre nous définissons une nouvelle famille de codes quantiques à partir de cubes de dimension arbitrairement grande. En prenant le quotient d’un cube de dimension n par un code classique de paramètres [n, k, d] et en identifiant les qubits physiques avec les faces de dimension p du polytope quotient ainsi défini, on obtient un code quantique. Cette famille de codes quantiques a l’originalité de considérer des quotients par des codes classiques. En cela elle s’éloigne de la topologie et appartient plutôt à la famille des codes homologiques.