Soient p un nombre premier et K un corps de valuation discrète de caractéristique 0 complet, à corps résiduel parfait de caractéristique p. Le but de cette thèse est de construire des complexes, définis en termes d'invariants ...
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Soient p un nombre premier et K un corps de valuation discrète de caractéristique 0 complet, à corps résiduel parfait de caractéristique p. Le but de cette thèse est de construire des complexes, définis en termes d'invariants attachés à une représentation p-adique du groupe de Galois absolu de K, et dont l'homologie est isomorphe à la cohomologie galoisienne de la représentation. Dans sa thèse, Herr a construit un tel complexe, à trois termes, à partir du (phi,Gamma)-module associé à la représentation (défini à partir de l'extension cyclotomique de K). Pour de nombreuses questions, il est cependant utile de travailler avec une extension de Breuil-Kisin, obtenue à partir de K en lui adjoignant un système compatible de racines p^n-ièmes d'une uniformisante de K. Une différence essentielle (et une difficulté notable) par rapport à la théorie cyclotomique est que l'extension obtenue n'est pas galoisienne. Une solution naturelle, apportée par Tavares Ribeiro dans sa thèse, est de travailler avec l'extension composée de l'extension cyclotomique avec une extension de Breuil-Kisin et le groupe de Galois afférent, ce qui fournit un complexe à quatre termes. Depuis, Caruso a développé la théorie des (phi,tau)-modules, qui sont à une extension de Breuil-Kisin ce que les (phi,Gamma)-modules sont à l'extension cyclotomique : ils fournissent une classification complète des représentations p-adiques (entières ou non). Notre premier résultat est la construction d'un complexe à trois termes, défini à partir du (phi,tau)-module d'une représentation p-adique, et dont l'homologie est isomorphe à la cohomologie galoisienne de la représentation. Nous prouvons qu'il raffine celui de Tavares Ribeiro lorsque le corps résiduel est fini, en construisant un quasi-isomorphisme entre les deux. Ensuite, nous construisons un opérateur psi (analogue à celui existant dans la théorie cyclotomique), et montrons que dans notre complexe, on peut le substituer à l'opérateur de Frobenius. En s'appuyant sur la surconvergence des (phi,tau)-modules (démontrée par Gao-Poyeton, et que nous raffinons pour les représentations entières), nous définissons des versions surconvergentes de nos complexes, et prouvons qu'ils calculent les bons H^0 et H^1. Par ailleurs, en utilisant des résultats de Poyeton, nous construisons un complexe sur l'anneau de Robba, plus simple que les précédents (l'opérateur tau est remplacé par une dérivation), et dont le H^0 et le H^1 sont isomorphes à la limite inductive des H^0 et H^1 galoisiens le long d'une extension de Breuil-Kisin. Enfin, nous appliquons ce qui précède au calcul de la cohomologie galoisienne du module de Tate d'un groupe p-divisible sur l'anneau des entiers de K, en termes du module de Breuil-Kisin associé.
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