Calcul de représentations galoisiennes modulaires

Abstract

J.-P. Serre a conjecturé à la fin des années 60 et P. Deligne a prouvé au début des années 70 que pour toute newform f = q + ∑ n⩾2 a n q n 2 S k (N; "), k ⩾ 2, et tout premier l du corps de nombres Kf = Q(a n ; n ⩾ 2), il existe une représentation galoisienne l-adique pf;l : Gal(Q=Q) ! GL2 (ZKf;l) qui est non-ramifiée en dehors de ℓN et telle que le polynôme caractéristique du Frobenius en p ∤ ℓN est X2 a pX + "(p)p k 1 .Après réduction modulo l et semi-simplification, on obtient une représentation galoisienne pf;l : Gal(Q=Q) ! GL2 (Fl) modulo l, non-ramifiée en dehors de ℓN et telle que lepolynôme caractéristique du Frobenius en p ∤ ℓN est X 2 a pX + "(p)p k 1mod l, d'où un moyen de calcul rapide de ap mod l pour p gigantesque.L'objet de cette thèse est l'étude et l'implémentation d'un algorithme reposant sur cette idée (initialement due à J.-M. Couveignes and B. Edixhoven), qui calcule les coefficients ap modulo l en calculant d'abord cette représentation modulo l, en s'appuyant sur le fait que pour k < ℓ, cette représentation est réalisée dans la ℓ-torsion de la jacobienne de la courbe modulaire X1 (ℓN ).Grâce à plusieurs améliorations, telles que l'utilisation des méthodes de K. KhuriMakdisi pour calculer dans la jacobienne modulaire J1(ℓN ) ou la construction d'une fonction a 2 Q (J1(ℓN )) au bon comportement arithmétique, cet algorithme est très efficace, ainsi qu'illustré par des tables de coefficients. Cette thèse se conclut par la présentation d'une méthode permettant de prouver formellement que les résultats de ces calculs sont corrects.