Polynominalité des coefficients de structures des algèbres de doubles-classes

Abstract

On étudie dans cette thèse les coefficients de structure et particulièrement leurs dépendancesen n dans le cadre d’une suite des algèbres de doubles-classes. Le premier chapitre est dédié à l’étude des coefficients de structure dans le cas général des centres d’algèbres de groupes finis et des algèbres de doubles-classes. On rappelle dans ce chapitre la théorie des représentationsdes groupes finiset son lien avec les coefficients de structure. On montre que l’étude des coefficients de structure des algèbres de doubles-classes est reliéeà la théorie des paires de Gelfand et auxfonctions sphériques zonales en donnant un théorème similaireà celui de Frobenius. Ce théorème exprime les coefficients de structure d’une algèbre de doubles-classes associée à une paire de Gelfand en fonction des fonctions sphériques zonales. Dans le deuxième chapitre, on rappellele théorème de Farahat et Higmann autour de la propriété de polynomialité des coefficients de structure du centre de l’algèbre du groupe symétriqueainsi que la preuve d’Ivanov et Kerov. On donne une preuvecombinatoire pour lapropriété de polynomialité des coefficients de structure de l’algèbre de Hecke de la paire (S2n, Bn) dans le troisième chapitre. On utilise dans notre preuve une algèbre universelle qui se projette sur l’algèbre de Hecke de la paire (S2n, Bn) pour tout n. On montre aussi que cette algèbre universelle est isomorphe à l’algèbre fonctions symétriques décalées d’ordre 2. Dans le dernier chapitre on présente un cadre général pour la forme des coefficients de structure dans le cas d’une suite des algèbres de doubles-classes.Ce cadre regroupe les propriétés de polynomialité des coefficients de structure du centre de l’algèbre du groupe symétrique et de l’algèbre de Hecke de la paire (S2n, Bn).De plus, on donne des propriétés de polynomialité pour les coefficients de structure du centre de l’algèbre du groupe hypéroctaédral et de l’algèbre de doubles-classes de diag (Sn-1) dans Sn x Sopp n-1.