Partitions et décompositions de graphes

Abstract

Cette thèse est dédiée à l’étude de deux familles de problèmes de partition de graphe. Nous considérons tout d’abord le problème de sommet-partitionner un graphe en sous-graphesconnexes. Plus précisément, étant donnés p entiers positifs n1; n2; :::; np dont la somme vautl’ordre d’un graphe G, peut-on partitionner V (G) en p parts V1; V2; :::; Vp de sorte que chaque Vi induise un sous-graphe connexe d’ordre ni ? Nous nous intéressons ensuite à des questions plus fortes. Que peut-on dire si l’on souhaite que G soit partitionnable de cette manière quels que soient p et n1; n2; :::; np ? Si l’on souhaite que des sommets particuliers de G appartiennent à des sous-graphes particuliers de la partition ? Et si l’on souhaite que les sous-graphes induits soient plus que connexes ? Nous considérons toutes ces questions à la fois du point de vue structurel (sous quelles conditions structurelles une partition particulière existe-t-elle nécessairement ?) et algorithmique (est-il difficile de trouver une partition particulière ?).Nous nous intéressons ensuite à la 1-2-3 Conjecture, qui demande si tout graphe G admet une 3-pondération voisin-somme-distinguante de ses arêtes, i.e. une 3-pondération par laquelle chaque sommet de G peut être distingué de ses voisins en comparant uniquement leur somme de poids incidents. Afin d’étudier la 1-2-3 Conjecture, nous introduisons notamment la notionde coloration localement irrégulière d’arêtes, qui est une coloration d’arêtes dont chaque classe de couleur induit un sous-graphe dans lequel les sommets adjacents sont de degrés différents.L’intérêt principal de cette coloration est que, dans certaines situations, une pondération d’arêtes voisin-somme-distinguante peut être déduite d’une coloration d’arêtes localement irrégulière. Nospréoccupations dans ce contexte sont principalement algorithmiques (est-il facile de trouver une pondération d’arêtes voisin-somme-distinguante ou une coloration d’arêtes localement irrégulière utilisant le plus petit nombre possible de poids ou couleurs ?) et structurelles (quel est le plus petit nombre de couleurs d’une coloration d’arêtes localement irrégulière ?). Nous considérons également ces questions dans le contexte des graphes orientés.