Sur l’approximation et la complétude des translatés dans les espaces de fonctions

Abstract

Nous nous intéressons à l'étude de la cyclicité et la bicyclicité dans les espaces ℓ^p(Z) à poids et à l'étude de la cyclicité dans les espaces de Dirichlet. Alors que Wiener a caractérisé la bicyclicité des vecteurs de ℓ¹(Z) et ℓ²(Z) grâce à l'ensemble des zéros de la transformée de Fourier, Lev et Olevski ont démontré que cet ensemble ne peut caractériser la bicyclicité dans ℓ^p(Z) lorsque 1≺p≺2 pour des suites u∈ℓ¹(Z). Beurling, Salem et Newman se sont aussi intéressés à la bicyclicité de vecteurs de ℓ^p(Z) pour 1≺p≺2. Dans ce travail, nous étendons tout d'abord les résultats de Beurling, Salem et Newman aux espaces ℓ^p(Z) à poids, en étudiant la dimension de Hausdorff et la capacité de l'ensemble des zéros de la transformée de Fourier. Ensuite nous démontrons que le résultat de Lev-Olevskii reste valide pour la cyclicité dans ℓ^p(Z), 1≺p≺2. De plus, nous donnons des conditions suffisantes à la cyclicité dans les espaces ℓ^p(Z) à poids. Enfin nous démontrons que, pour une fonction f appartenant à l'algèbre du disque et à un espace de type Dirichlet, si f est extérieure et si l'ensemble des zéros de f est réduit à un point alors f est cyclique. Ceci généralise le résultat de Hedenmalm et Shields qui ont traité le cas du Dirichlet classique.