Combinatoire de l’ASEP, arbres non-ambigus et polyominos parallélogrammes périodiques

Abstract

Cette thèse porte sur l’interprétation combinatoire des probabilitésde l’état stationnaire de l’ASEP par les tableaux escaliers, sur les arbresnon-ambigus et sur les polyominos parallélogrammes périodiques.Dans une première partie, nous étudions l’ansatz matriciel de Derrida,Evans, Hakim et Pasquier. Toute solution de ce système d’équation permet decalculer les probabilités stationnaires de l’ASEP. Nos travaux définissent denouvelles récurrences équivalentes à celles de l’ansatz matriciel. En définissantun algorithme d’insertion sur les tableaux escaliers, nous montrons combinatoirementet simplement qu’ils les satisfont. Nous faisons de même pour l’ASEPà deux particules. Enfin, nous énumérons les coins dans les tableaux associésà l’ASEP, nous permettant ainsi de donner le nombre moyen de transitionspossibles depuis un état de l’ASEP.Dans une deuxième partie, nous calculons de jolies formules pour les sériesgénératrices des arbres non-ambigus, desquelles nous déduisons des formulesd’énumérations. Puis, nous interprétons bijectivement certains de ces résultats.Enfin, nous généralisons les arbres non-ambigus à toutes les dimensions finies.Dans la dernière partie, nous construisons une structure arborescente surles polyominos parallélogrammes périodiques, inspirée des travaux de Boussicault,Rinaldi et Socci. Cela nous permet de calculer facilement leur sériegénératrice selon la hauteur et la largeur ainsi que deux nouvelles statistiques :la largeur intrinsèque et la hauteur de recollement intrinsèque. Enfin, nousétudions l’ultime périodicité de leur série génératrice selon l’aire.