Asymptotiques semi-classiques de l'amplitude de diffusion pour des perturbations captives

Abstract

Dans cette thèse, nous étudions l'amplitude de diffusion associée à l'opérateur de Schrödinger semiclassique pour des potentiels de courte portée. En particulier, nous cherchons à décrire le comportement de l'amplitude de diffusion quand le paramètre semiclassique h tend vers 0. Une telle étude est étroitement reliée avec la nature des trajectoires du système Hamiltonien associé à notre opérateur. Dans le cas où toutes les trajectoires d'énergie l fixée s'échappent quand le temps t tend vers ±¥, on dit que l est non-captif. Pour de telles énergies, Robert et Tamura ont obtenu une asymptotique de l'amplitude de diffusion. Le but de cette thèse est d'étudier le cas d'énergies captives. Dans le premier chapitre, nous rappelons des résultats connus sur le calcul pseudodifferentiel semiclassique, les résonances et la formule de représentation de Isozaki-Kitada. Nous y menons aussi une étude détaillée du flot Hamiltonien. Dans le second chapitre nous donnons une asymptotique de l'amplitude de diffusion en norme L1 d'énergie. Ce résultat est valable sous une hypothèse d'échappement dans la direction entrante, beaucoup plus faible que l'hypothèse de non-capture. Dans le troisième chapitre, nous obtenons des résultats à énergie fixée. Pour des énergies captives quelconques, nous démontrons que l'amplitude de diffusion est bornée polynômialement par rapport à h-1. Sous l'hypothèse supplémentaire qu'il n'y a pas de résonances exponentiellement proches de l'axe réel, nous obtenons deux résultats. Tout d'abord, nous démontrons que si nous modifions le potentiel dans une région convenable, la perturbation de l'amplitude de diffusion est d'ordre O(h¥). De plus, sous l'hypothèse d'échappement du Chapitre 2, nous démontrons une asymptotique de l'amplitude de diffusion. Le dernier chapitre est consacré à l'étude des résidus de l'amplitude de diffusion pour des potentiels de courte portée. A l'aide des résultats du Chapitre 3, nous donnons une borne du résidu en fonction de h et de la partie imaginaire de la résonance associée. Ce résultat généralise des travaux récents de Stefanov pour des perturbations à support compact.