Sur la répartition des entiers premiers à un entier donné

Abstract

Suivant une idée de Erdős, nous montrons qu’une estimation uniforme en k, h et q de Mk(h; q), moment centré d’ordre k de la répartition dans un intervalle glissant de longueur h des entiers premiers à l’entier q, permet de majorer la fonction de Jacobsthal, qui mesure l’´ecart maximal entre entiers cons´ecutifs premiers à q. Montgomery et Vaughan ont étudié ce moment à k fixé : nous suivons leur argumentation. En établissant le comportement asymptotique du moment centré d’ordre k de la loi binomiale de paramètres (h, P) uniformément en ces trois variables, nous déduisons que l’estimation conjecturée est valable dès que les facteurs premiers de q sont supérieurs à h. Pour les cas restants (q sans grand facteur premier et k « petit »), nous analysons le lemme fondamental de Montgomery et Vaughan, et l’améliorons dans certains cas grâce à l’étude des sommes de Ramanujan. Indépendamment, d’autres problèmes sont traités, concernant notamment l’étude du graphe divisoriel et de ses recouvrements en chaînes disjointes.