Le développement en série de Peano du Matricant pour l'étude de la propagation des ondes élastiques en milieux à propriétés continument variables

Abstract

Les milieux à propriétés continûment variables selon une direction particulière de l'espace intéressent les géophysiciens depuis plus de cinquante ans. La croûte terrestre, les océans et l'atmosphère sont des milieux naturels continûment hétérogènes. Mais on rencontre également ce type de configuration, variation continue des propriétés caractéristiques des matériaux, pour de nombreux produits industriels. Le contrôle et l'évaluation de ces matériaux représentent donc un enjeu important. Le schéma classique de résolution des équations d'ondes en milieux à hétérogénéité unidirectionnelle repose sur un modèle multicouche, la stratification du milieu étudié pouvant être naturelle, les propriétés sont des fonctions constantes par morceaux, ou artificielle, les propriétés sont des fonctions continues que l'on discrétise. Cette approche est alors connue sous le nom de méthode de Thomson-Haskell. Dans le cas des milieux continûment variables, on calcule une solution exacte à un problème approché ce qui suscite de nombreuses interrogations quant à la précision et à la validité des solutions obtenues. Dans ce travail, le problème est abordé sous un angle différent offrant ainsi de nouvelles perspectives d'approche des milieux hétérogènes. Afin de conserver l'authenticité du problème, nous proposons d'utiliser une méthode basée sur le développement en série de Peano du matricant, forme explicite de la solution analytique exacte des équations d'ondes mises sous la forme d'un système différentiel ordinaire du premier ordre à coefficients non-constants, pour des profils quelconques de propriétés. Les développements analytiques et numériques de cette écriture appliquée à des problèmes de conditions aux limites ont fourni une méthode robuste pour l'analyse des phénomènes acoustiques (courbes de dispersion, spectre fréquentiel du coefficient de réflexion etc.). Des résultats prometteurs quant à la détection du caractère hétérogène et à la quantification de certains paramètres caractéristiques de l'hétérogénéité ont été obtenus.