Conjecture n! et généralisations

Abstract

Cette thèse est consacrée au problème de combinatoire algébrique appelée conjecture n!. Plus explicitement, on étudie la structure de certains espaces notés M_mu et indexés par les partitions mu de l'entier n. Chaque espace M_mu est le cône de dérivation d'un polynôme Delta_mu, généralisant en deux alphabets le déterminant de Vandermonde. Le coeur de ce travail, motivé par l'interprétation de certains polynômes de Macdonald en termes de multiplicité des représentations irréductibles du S_n-module M_mu, est la conjecture n!, énoncée en 1991 par A. Garsia et M. Haiman et récemment prouvée par ce dernier. On s'intéresse ici tout d'abord à l'explicitation de bases monomiales des espaces M_mu. Cette approche est très liée à l'étude de l'idéal annulateur de Delta_mu et nous conduit à introduire certains opérateurs de dérivation, dits opérateurs de sauts. On obtient une base monomiale explicite et une description de l'idéal annulateur pour les partitions en équerres, et pour le sous-espace en un alphabet M_mu(X) avec une partition mu quelconque. Les opérateurs de sauts se révèlent cruciaux pour l'introduction et l'étude de généralisations de la conjecture n!. Dans le cas des partitions trouées (approche récursive de la conjecture n!), l'obtention d'une base explicite du sous-espace en un alphabet permet de traiter une spécialisation de la fondamentale récurrence à quatre termes. Dans le cas des diagrammes à plusieurs trous, l'introduction de sommes de cônes de dérivation permet d'énoncer une conjecture généralisant la conjecture n!, supportée par l'obtention d'une borne supérieure et la structure du sous-espace en un alphabet.

This thesis deals with the question of algebraic combinatorics called the n! conjecture. More precisely, we study the structure of some spaces M_mu indexed by the partitions mu of the integer n. Each space M_mu is a cone spanned by all partial derivatives of a polynomial Delta_mu which generalizes the Vandermonde determinant. Our work is focused on the n! conjecture, stated in 1991 by A. Garsia and M. Haiman, and recently proved by Haiman. It is motivated by the interpretation of some Macdonald polynomials with multiplicities of irreducible representations of the S}_n-module M_mu. We first search explicit monomial bases for the spaces M_mu. This approach is closely related to the study of the vanishing ideal of Delta_mu and leads us to introduce some very useful derivative operators called shift operators. We obtain an explicit monomial basis and a description of the vanishing ideal in the case of the hook partitions, and for the subspace in one alphabet M_mu(X), for any partition mu. The shift operators are also crucial in the introduction and the study of generalizations of the n! conjecture. In the case of punctured diagrams (recursive approach of the n! conjecture), the description of an explicit basis of the subspace in one alphabet gives us a specialization of the central four term recurrence. In the case of diagrams with many holes, the introduction of sums of cones leads to a conjectural generalization of the n! conjecture. An upper bound and the structure of the subspace in one alphabet supports this conjecture.