Fonction Zêta de Hurtwig P-Adique et irrationalité

Abstract

Cette thèse comporte deux parties. La plus importante porte sur l'indépendance linéaire sur les corps cyclotomiques de certaines combinaisons linéaires de valeurs de la fonction Zêta de Hurwitz p-adique. La méthode repose sur le tranfert d'approximants de Padé simultanés du domaine complexe au domaine p-adique, en utilisant les séries formelles. Dans un second temps, on utilise une technique similaire pour obtenir des résultats pour les polylogarithmesp-adiques. Les deux parties utilisent les séries hypergéométriques des travaux de Tanguy Rivoal pour obtenir les approximants de Padé. Elles nécessitent l'utilisation d'un critère d'indépendance linéaire qui est obtenu par adaptation en p-adique du critère archimédien utilisé par Raffaele Marcovecchio.

This thesis contains two parts. The most important part is on the linear independence over the cyclotomics fields of linear combinations of p-adic Hurwitz zeta function's values. The method uses the transfer of complex simultaneous Padé approximants in the p-adic case by using formal series. In a second step, we use a similar method to produce results for the p-adic polylogarithms. Both sections use the hypergeometric series introduced by Tanguy Rivoal to obtain the Padé approximants and a criterion of linear independence which is obtained by transfer in p-adic case of the archimedean criterion used by Raffaele Marcovecchio.