Invariants polynomiaux et structures algébriques d'objets combinatoires

Abstract

Dans la première moitié de ce mémoire, nous étudions les invariants polynomiaux définis par Aguiar et Ardila dans arXiv:1709.07504 dans le contexte des monoïdes de Hopf. Nous donnons d'abord une interprétation combinatoire de ces polynômes pour les monoïdes de Hopf des permutaèdres généralisés et des hypergraphes,sur les entiers naturels et négatifs. Nous en déduisons ensuite des interprétations similaires sur d'autres objets combinatoires(graphes, complexes simpliciaux, building sets, etc).Dans la seconde moitié de ce mémoire, nous proposons une nouvelle façon de définir et d'étudier des opérades de multigraphes et d'objets similaires.Nous étudions en particulier deux opérades obtenues avec cette méthode. La première est une généralisation directe de l'opérade Kontsevich-Willwacher,qui peut être considérée comme une opérade canonique sur les multigraphes et possède de nombreuses sous-opérades intéressantes.La seconde est une extension naturelle de l'opérade pré-Lie et a aussi un lien avec l'opérade précédente.Nous présentons également divers résultats sur certaines sous-opérades finiment enegendrées et établissons des liens entre elles et les opérades commutative et commutative magmatique.