Factorisation des opérateurs différentiels en caractéristique positive.
dc.contributor.advisor | Alin Bostan | |
dc.contributor.advisor | Xavier Caruso | |
hal.structure.identifier | Université de Bordeaux [UB] | |
hal.structure.identifier | Institut de Mathématiques de Bordeaux [IMB] | |
hal.structure.identifier | Analyse cryptographique et arithmétique [CANARI] | |
hal.structure.identifier | Calcul formel, mathématiques expérimentales et interactions [MATHEXP] | |
dc.contributor.author | PAGÈS, Raphaël | |
dc.contributor.other | Elena Berardini [examinatrice] | |
dc.contributor.other | Alin Bostan (directeur) | |
dc.contributor.other | Irene Bouw [examinatrice] | |
dc.contributor.other | Xavier Caruso (directeur) | |
dc.contributor.other | Charlotte Hardouin [examinatrice] | |
dc.contributor.other | Mark van Hoeij (rapporteur) | |
dc.contributor.other | Julien Roques [Président] | |
dc.contributor.other | Bernard le Stum (rapporteur) | |
dc.date.accessioned | 2024-04-04T02:29:51Z | |
dc.date.available | 2024-04-04T02:29:51Z | |
dc.identifier.uri | https://oskar-bordeaux.fr/handle/20.500.12278/190214 | |
dc.description.abstract | L’étude des opérateurs différentiels linéaires est une partie importantede l’étude algébrique des équations différentielles. Les anneaux d’opérateursdifférentiels linéaires partagent de nombreuses propriétés avec les anneaux depolynômes, mais le caractère non commutatif de la multiplication rend la conceptiond’algorithmes de factorisation plus compliquée. L’objet de cette thèse est ledéveloppement d’un algorithme calculant un facteur droit irréductible d’un opérateurdifférentiel linéaire donné dont les coefficients sont des éléments d’un corps defonctions algébriques de caractéristique p. La situation diffère grandement duproblème analogue en caractéristique 0 car les corps de fonctions algébriques decaractéristique positive sont de dimension finie sur leur corps des constantes. Dececi découle une structure additionnelle d’algèbre d’Azumaya qui fournit des outilssupplémentaires pour attaquer le problème de la factorisation.Une première étape est le calcul de la p-courbure, un invariant classique de premièreimportance des opérateurs différentiels en caractéristique p. Le premier résultatsignificatif de cette thèse est un algorithme calculant, pour un opérateur différentiel Len caractéristique 0 et un entier N ∈ N donnés, tous les polynômes caractéristiquesdes p-courbures des réductions de L modulo p, pour tous les nombres premiers p ⩽N.La deuxième partie de la thèse est consacrée à la factorisation en elle-même. Nousutilisons la structure d’algèbre d’Azumaya pour montrer que la recherche de facteursirréductibles à droite revient à la résolution de l’équation de p-Riccatif^{ (p−1) }+ f^p = a^pdans K[a], où a est une certaine fonction algébrique sur K. Cette observation nouspermet de développer deux algorithmes importants. Le premier est une applicationdu principe global-local conduisant à un test d’irréductibilité de complexitépolynomiale pour les opérateurs différentiels. Le second est un algorithme derésolution de l’équation de p-Riccati utilisant plusieurs outils de la géométriealgébriques pour les courbes, dont les espaces de Riemann-Roch et les groupes dePicard. Nous effectuons une analyse de complexité approfondie de cet algorithme etmontrons que l’équation de p-Riccati admet toujours une solution dont la taille estcomparable à celle du paramètre a. Cet algorithme rend en particulier possible lafactorisation des opérateurs centraux (un cas qui a souvent été laissée de côté par lepassé) et diminue la taille des facteurs droits irréductibles d’opérateurs différentielslinéaires d’un facteur p en comparaison des travaux précédents. On en déduitfinalement un algorithme de factorisation complet pour les opérateurs différentielslinéaires de caractéristique positive. | |
dc.description.abstractEn | The study of linear differential operators is an important part of thealgebraic study of differential equations. Rings of linear differential operators sharemany properties with rings of polynomials, but the noncommutative aspect of themultiplication makes the design of factorisation algorithms harder. This thesisfocuses mainly on developing an algorithm computing an irreducible right factor of agiven linear differential operator with coefficients in an algebraic function field ofpositive characteristic p. The situation differs greatly from the same problem incharacteristic 0 because algebraic function fields of characteristic p are finitedimensional over their field of constants. This simple fact provides the ring ofdifferential operators in characteristic p with an additional structure of Azumayaalgebra, which gives additional tools to attack our problem. A first step in thisdirection is the computation of the p-curvature, a classical invariant of primaryimportance attached to differential operations in characteristic p. The first importantresult of this thesis is an algorithm computing, for a given operator L in characteristic0 and an integer N , all the characteristic polynomials of the p-curvatures of itsreduction modulo p, for all primes p ⩽ N. The second part of the thesis is dedicated tothe factorisation itself. We use the Azumaya algebra structure to show that findingirreducible right irreducible factors reduces to solving the p-Riccati equationcf^{ (p−1) }+ f^p = a^pin K[a], where a is a suitable algebraic function over K. This observation leads to twoimportant algorithms. The first one is an application of the global-local principle whicheventually provides a polynomial time irreducibility test for differential operators. Thesecond one is an actual resolution algorithm for the p-Riccati equation that uses toolsof algebraic geometry for curves such as Riemann-Roch spaces and Picard group.We perform a complexity analysis of this algorithm, and show that the p-Riccatiequation always admits a solution whose size is comparable to that of the parametera. As a byproduct, this algorithm makes the factorisation of central operators possible(a situation which was often left aside) and lower the size of right factors of generaloperators by a factor p compared to previous works. We finally deduce a fullfactorisation algorithm for differential operators of positive characteristic. | |
dc.language.iso | en | |
dc.subject | Opérateurs différentiels | |
dc.subject | Algèbres d'Azumaya | |
dc.subject | Calcul formel | |
dc.subject | Courbes algébriques | |
dc.subject | Caractéristique positive | |
dc.subject.en | Differential operators | |
dc.subject.en | Azumaya algebras | |
dc.subject.en | Symbolic computation | |
dc.subject.en | Algebraic curves | |
dc.subject.en | Positive characteristic | |
dc.title | Factorisation des opérateurs différentiels en caractéristique positive. | |
dc.title.en | Factoring differential operators in positive characteristic. | |
dc.type | Thèses de doctorat | |
dc.subject.hal | Mathématiques [math] | |
dc.subject.hal | Informatique [cs]/Calcul formel [cs.SC] | |
dc.subject.hal | Mathématiques [math]/Théorie des nombres [math.NT] | |
dc.subject.hal | Mathématiques [math]/Algèbres d'opérateurs [math.OA] | |
bordeaux.hal.laboratories | Institut de Mathématiques de Bordeaux (IMB) - UMR 5251 | * |
bordeaux.institution | Université de Bordeaux | |
bordeaux.institution | Bordeaux INP | |
bordeaux.institution | CNRS | |
bordeaux.type.institution | Université de Bordeaux | |
hal.identifier | tel-04490793 | |
hal.version | 1 | |
hal.origin.link | https://hal.archives-ouvertes.fr//tel-04490793v1 | |
bordeaux.COinS | ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info:ofi/fmt:kev:mtx:journal&rft.title=Factorisation%20des%20op%C3%A9rateurs%20diff%C3%A9rentiels%20en%20caract%C3%A9ristique%20positive.&rft.atitle=Factorisation%20des%20op%C3%A9rateurs%20diff%C3%A9rentiels%20en%20caract%C3%A9ristique%20positive.&rft.au=PAG%C3%88S,%20Rapha%C3%ABl&rft.genre=unknown |
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