Une archéologie de la logique du sens : arithmétique et contenu dans le processus de mathématisation de la logique au XIXe siècle

Abstract

Ce travail s’engage dans la reconstitution d’une intelligibilité globale nouvelle pour la logique qui est née avec Frege afin de restituer l’une des conditions décisives pour la philosophie contemporaine, à savoir celle qui concerne son rapport aux pratiques et aux savoirs formels. Son hypothèse initiale affirme que le projet premier et constant de Frege a été celui d’une logique du contenu. Pourtant, il ne s’agit pas de réinvestir l’œuvre de Frege d’une cohérence nouvelle dans le but de rétablir une unité stable. Car l’intelligibilité procurée par cette reconstitution permet de localiser dans les formulations de Frege de véritables lacunes qui ne semblent pas avoir été identifiées comme telles jusqu’ici. Que la logique de Frege soit efficace malgré ces lacunes, voilà ce qu’il faut expliquer. La réponse que nous donnons à ces questions est que l’efficacité de la logique de Frege en tant que logique du contenu provient d’un certain rapport à l’Arithmétique, à savoir celui par lequel c’est la logique qui est construite d’après les principes de l’Arithmétique, avant qu’elle ne soit capable de la construire à son tour. La question se pose alors de caractériser avec précision à ce niveau constitutif, non « fondationnel », la nature du rapport entre une logique du contenu comme forme spécifique de la logique dans le cadre de sa mathématisation, et l’Arithmétique comme domaine mathématique particulier. De l’analyse minutieuse de la constitution du système logique frégéen, une idée se dégage qui constitue la thèse centrale de notre travail : les différents systèmes de la logique mathématisée ou formelle ne reposent sur les mathématiques que par l’intermédiaire d’une dimension d’exercice, de réflexion et d’élaboration de signes, où les circulations et les emprunts entre ces deux savoirs formels contemporains que sont les mathématiques et la logique se construisent et se justifient. C’est donc cette thèse qu’il s’agit de démontrer, par une étude détaillée des processus d’émergence des deux plus grands projets de formalisation de la logique du XIXe siècle : celui de Frege et celui de Boole et des Booléens. Dans cet espace qui mène des pratiques mathématiques aux systématisations logiques à travers les fonctionnements des signes, deux régimes généraux se dessinent : celui d’ « Abstraction symbolique » qui mène de l’Algèbre abstraite à la Logique propositionnelle booléenne ; et celui de l’ « Expressionnisme », qui mène de l’Arithmétique au Calcul logique des prédicats, associée aux travaux de Frege. Mais plus profondément, par l’effet d’une lecture symptomale au plus près des dynamiques internes à ces processus, le présent travail décèle un lien transversal entre le contenu logique d’une part et l’Arithmétique comme ensemble des déterminations du nombre de l’autre. En suivant ce lien, qui s’avère le responsable de l’introduction de la catégorie de sens dans le cadre de la logique mathématisée, une théorie de l’expression formelle se dessine, définissant les conditions pour le développement d’une logique du sens.