Émergence de distributions log-normales dans des processus d'avalanche, validation de modèles stochastiques 1D et sur réseaux aléatoires, avec une application à la caractérisation de la plasticité des cellules cancéreuses

Abstract

Plusieurs matériaux vitreux ont des comportements caractéristiques suite à fractures induites par des contraintes. Ces fractures se présentent comme des processus d'avalanche dont la statistique dans la plus part des cas suit une loi de puissance, rappel de comportements collectifs et critiques auto-organisés. Des avalanches des fractures sont observées aussi dans des systèmes vivants, qui peuvent être vus dans certains cas comme un réseau vitreux, avec une structure figée. Le cytosquelette d'actine (CSK) forme des structures organisées en microfilaments par un mécanisme dynamique d'assemblage-désassemblage de cross-linkers. Des expériences ont montré que les cellules répondent à des contraintes extérieures par cascades d’événements aléatoires de ruptures, en suggérant qu'elles se comportent comme de réseaux aléatoires quasi-rigides de filaments interconnectés. Nous analysons des données expérimentales provenant de cellules CD34+ de moelles osseuses saines et leucémiques. Étonnement, les distributions de la force, la taille et l'énergie libérée lors de ces cascades, ne suivent pas une distribution en lois de puissance typique de phénomènes critiques. En fait la distribution de la taille des avalanches s'avère être log-normale. Dans le but de donner une interprétation de ce comportement particulier nous proposons d'abord un modèle stochastique minimal (1D). Ce modèle donne une interprétation de l'énergie relarguée dans les cascades de ruptures, au regard d'une somme (étant l'énergie additive) d'un processus multiplicatif de cascade avec une relaxation temporelle. Nous identifions 2 types d’événements de ruptures: des fractures friables susceptibles de représenter des ruptures irréversibles dans un CSK rigide et très connecté, et des fractures ductiles résultant des décrochements dynamiques des cross-linkers pendant la déformation plastique sans perte d'intégrité du CSK. Notre modèle fournit une compréhension mathématique et mécanique de la statistique log-normale observée dans les deux (friable et ductile) cas. Nous montrons aussi que les fractures friables sont relativement plus importantes dans les cellules leucémiques, en témoignant leur plus grande fragilité et leur différente architecture du CSK, plus rigide et réticulée. Ce modèle minimal motive la question plus générale de quelles sont les distributions résultantes pour la somme de variables corrélées provenant d'un processus multiplicatif. En conséquence nous analysons la distribution de la somme d'un processus de branchement généralisé évoluant avec un facteur de croissance aléatoire continu. Le processus dépend de 2 paramètres: les 2 premiers moments centrés de la distribution du facteur de croissance. Nous créons un diagramme de phase en montrant 3 régions différentes: une région où la distribution finale a tous les moments finis et qui est approximativement log-normale. 2) Une région où la distribution asymptotique est une lois de puissance, avec un exposent inclus dans l'intervalle [1;3], dont la valeur est uniquement déterminée par les paramètres du modèle. 3) Enfin dans la dernière région une distribution exactement log-normale, mais non-stationnaire. Dans tous les cas, les corrélations se révèlent fondamentales. Nous proposons ensuite un modèle de réseau aléatoire Erdös-Rényi pour modéliser le CSK, en identifiant le nœuds en tant que filaments d'actine et les liens en tant que cross-linkers. Sur cette structure nous simulons la propagation d'avalanches de ruptures. Nos simulations montrent que l'on peut reproduire une statistique log-normale avec deux simples ingrédients: un réseau aléatoire sans échelle d'espace caractéristique et une règle de rupture capturant la visco-élasticité des cellules. Ce travail ouvre la voie pour des applications futures à plusieurs phénomènes dans les systèmes vivants qui contiennent de larges populations d'éléments individuels, non-linéaires (cerveau, cœur, épidémies), où des statistiques log-normales similaires ont été observées.